Логика. Учебное пособие Гусев Дмитрий Алексеевич

3.2. Виды умозаключений

3.2. Виды умозаключений

Умозаключения, или опосредованные умозаключения делятся на три вида. Они бывают дедуктивными, индуктивными и умозаключениями по аналогии .

Дедуктивные умозаключения или дедукция (от лат. deductio – выведение) – это умозаключения, в которых из общего правила делается вывод для частного случая (из общего правила выводится частный случай).

Например:

Все звезды излучают энергию.

Солнце – это звезда.

Солнце излучает энергию.

Как видим, первая посылка представляет собой общее правило, из которого (при помощи второй посылки) вытекает частный случай в виде вывода: если все звезды излучают энергию, значит Солнце тоже ее излучает, потому что оно является звездой. В дедукции рассуждение идет от общего к частному, от большего к меньшему, знание сужается, в силу чего дедуктивные выводы достоверны, т. е. точны, обязательны, необходимы и т. п.

Посмотрим еще раз на приведенный выше пример. Мог бы из двух данных посылок вытекать иной вывод, кроме того, который из них вытекает? Не мог! Вытекающий вывод – единственно возможный в этом случае. Изобразим отношения между понятиями, из которых состояло наше умозаключение, кругами Эйлера. Объемы трех понятий: звезды; тела, излучающие энергию; Солнце схематично расположатся следующим образом:

Если объем понятия звезды включается в объем понятия тела, излучающие энергию, а объем понятия Солнце включается в объем понятия звезды, то объем понятия Солнце автоматически включается в объем понятия тела, излучающие энергию, в силу чего дедуктивный вывод и является достоверным.

Несомненное достоинство дедукции, конечно же, заключается в достоверности ее выводов. Вспомним, известный литературный герой Шерлок Холмс пользовался дедуктивным методом при раскрытии преступлений. Это значит, что он строил свои рассуждения таким образом, чтобы из общего выводить частное. В одном произведении, объясняя доктору Уотсону сущность своего дедуктивного метода, он приводит такой пример. Около убитого полковника Морена сыщики Скотлэнд-Ярда обнаружили выкуренную сигару и решили, что полковник выкурил ее перед смертью. Однако, он (Шерлок Холмс) неопровержимо доказывает, что полковник Морен не мог выкурить эту сигару, потому что он носил большие, пышные усы, а сигара выкурена до конца, т. е., если бы ее курил Морен, то он непременно подпалил бы свои усы. Следовательно, сигару выкурил другой человек. В этом рассуждении вывод выглядит убедительно именно потому, что он дедуктивный: из общего правила (Любой человек с большими, пышными усами не может выкурить сигару до конца ) выводится частный случай (Полковник Морен не мог выкурить сигару до конца, потому что носил такие усы ). Приведем рассмотренное рассуждение к принятой в логике стандартной форме записи умозаключений в виде посылок и вывода:

Любой человек с большими, пышными усами не может выкурить сигару до конца.

Полковник Морен носил большие, пышные усы.

Полковник Морен не мог выкурить сигару до конца.

Индуктивные умозаключения или индукция (от лат. inductio – наведение) – это умозаключения, в которых из нескольких частных случаев выводится общее правило (несколько частных случаев как бы наводят на общее правило). Например:

Юпитер движется.

Марс движется.

Венера движется.

Юпитер, Марс, Венера – это планеты.

Все планеты движутся.

Как видим, первые три посылки представляют собой частные случаи, четвертая посылка подводит их под один класс объектов, объединяет их, а в выводе говорится обо всех объектах этого класса, т. е. формулируется некое общее правило (вытекающее из трех частных случаев). Легко увидеть, что индуктивные умозаключения строятся по принципу, противоположному принципу построения дедуктивных умозаключений. В индукции рассуждение идет от частного к общему, от меньшего к большему, знание расширяется, в силу чего индуктивные выводы, в отличие от дедуктивных, не достоверны, а вероятностны. В рассмотренном выше примере индукции признак, обнаруженный у некоторых объектов какой-то группы, перенесен на все объекты этой группы, сделано обобщение, которое почти всегда чревато ошибкой: вполне возможно наличие в группе каких-то исключений, и даже если множество объектов из некой группы характеризуется каким-то признаком, то это не означает с достоверностью, что таким признаком характеризуются все объекты данной группы. Вероятностный характер выводов является, конечно же, недостатком индукции. Однако, ее несомненное достоинство и выгодное отличие от дедукции, которая представляет собой сужающееся знание, заключается в том, что индукция – это расширяющееся знание, способное приводить к новому, в то время как дедукция – это разбор старого и уже известного.

Умозаключения по аналогии или просто аналогия (от греч. analogia – соответствие) – это умозаключения, в которых на основе сходства предметов (объектов) в одних признаках делается вывод об их сходстве и в других признаках. Например:

Планета Земля расположена в солнечной системе, на ней есть атмосфера, вода и жизнь.

Планета Марс расположена в солнечной системе, на ней есть атмосфера и вода.

Вероятно, на Марсе есть жизнь.

Как видим, сравниваются (сопоставляются) два объекта (планета Земля и планета Марс), которые сходны между собой в некоторых существенных, важных признаках (находиться в солнечной системе, иметь атмосферу и воду). На основе данного сходства делается вывод о том, что, возможно, эти объекты сходны между собой и в других признаках: если на Земле есть жизнь, а Марс во многом похож на Землю, то не исключено наличие жизни и на Марсе. Выводы аналогии, как и выводы индукции, вероятностны.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

3.9. Правила умозаключений с союзом «или» Первая посылка разделительно-категорического силлогизма (умозаключения) является строгой дизъюнкцией, т. е. представляет собой уже знакомую нам логическую операцию деления понятия. Поэтому неудивительно, что правила этого

3.11. Правила умозаключений с союзом «если… то» 1. Утверждать можно только от основания к следствию, т. е. во второй посылке утверждающего модуса должно утверждаться основание импликации (первой посылки), а в выводе – ее следствие. В противном случае из двух истинных

11. Значение ложных умозаключений для учения о формах заблуждения На первый взгляд могло бы показаться, будто исследованные в этом учении о fallacia ошибочные формы умозаключения имеют для разрабатываемого здесь учения о заблуждении значение со своей стороны лишь

§ 4. ВИДЫ ПОНЯТИЙ Понятия (классы) делятся на пустые и непустые. О них шла речь в предыдущем параграфе. Рассмотрим виды непустых понятий. По объему они делятся на: 1) единичные и общие, (последние - на регистрирующие и нерегистрирующие); по типу обобщаемых предметов - на 2)

§ 1. УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ КАК ФОРМА МЫШЛЕНИЯ. ВИДЫ УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ В процессе познания мы приобретаем новые знания. Некоторые из них - непосредственно, в результате воздействия предметов внешнего мира на органы чувств. Но большую часть знаний - путем выведения новых знаний из

§ 2. ВИДЫ АНАЛОГИИ По характеру уподобляемых объектов различают два вида аналогии: (1) аналогию предметов и (2) аналогию отношений.(1) Аналогия предметов - умозаключение, в котором объектом уподобления выступают два сходных единичных предмета, а переносимым признаком -

§ 2. ВИДЫ ВОПРОСОВ Рассмотрим основные виды вопросов с учетом: 1) отношения к обсуждаемой теме, 2) семантики, 3) функций, 4) структуры.1. Отношение к обсуждаемой теме.В процессе обсуждения спорных проблем в науке, политике, судопроизводстве или деловых беседах важно различать

§ 3. ВИДЫ ОТВЕТОВ Познавательная функция вопроса реализуется в форме вновь полученного суждения - ответа на поставленный вопрос. При этом по содержанию и структуре ответ должен строиться в соответствии с поставленным вопросом. Лишь в этом случае он расценивается как

§ 2. ВИДЫ ГИПОТЕЗ В процессе развития знаний гипотезы различаются по своим познавательным функциям и по объекту исследования.1. По функциям в познавательном процессе различают гипотезы (1) описательные и (2) объяснительные.(1) Описательная гипотеза - это предположение о

§ 4. ВИДЫ ПОНЯТИЙ Понятия делятся на виды по: (1) количественным характеристикам объемов понятий; (2) типу обобщаемых предметов; (3) характеру признаков, на основе которых обобщаются и выделяются предметы. Большей частью эта классификация относится к простым понятиям

3. Типология умозаключений Выступая в качестве более сложной, чем понятие и суждение, формы мышления, умозаключение представляет собой в то же время более богатую по своим проявлениям форму. И в этом есть определенная закономерность.Обозревая практику мышления, можно

Виды рая Брахма Имеются, гласят священные книги индусов, многие помещения в жилище праведников. Первый рай – рай Индры, где принимают добродетельные души любой касты и пола; второй рай – рай Вишну, куда могут проникнуть только его почитатели; третий предназначен для

44. Виды индуктивных умозаключений Первоначально следует сказать об основополагающем разделении индуктивных умозаключений. Они бывают полные и неполные.Полными называются умозаключения, в которых вывод делается на основе всестороннего изучения всей совокупности

ЛЕКЦИЯ № 15 Умозаключение. Общая характеристика дедуктивных умозаключений 1. Понятие умозаключения Умозаключение - это форма абстрактного мышления, посредством которой из ранее имевшейся информации выводится новая. При этом не задействуются органы чувств, т. е. весь

3. Виды индуктивных умозаключений Первоначально следует сказать об основополагающем разделении индуктивных умозаключений. Они бывают полные и неполные.Полными называются умозаключения, в которых вывод делается на основе всестороннего изучения всей совокупности

Как проводили биологическую эволюцию: виды-инкубаторы и виды-выводки Материалистическая наука полагает, что всё на свете происходит без сверхъестественных вмешательств. В частности, совершенно естественно происходит и биологическая эволюция, причём новые

Умозаключение – это форма мышления, в которой из двух суждений, называемых посылками, вытекает третье – вывод.
1. Посылка: «Все люди – смертны».
2. Посылка: «Сократ – человек»
Ввод: «Сократ – смертный».

Умозаключения бывают непосредственные и опосредованные. Непосредственные умозаключения делаются из одной посылки, и являют собой уже известные нам действия над суждениями (обращения, превращения, противоставления предикату), а так же преобразование суждений по логическому квадрату. Опосредованные умозаключения делаются из нескольких посылок, о них мы и будем говорить в данной главе.

Существуют такие виды опосредованных умозаключений, их еще называют методами мышления:

Дедуктивный метод (Силлогизм) – метод при котором вывод о частном делается из общей совокупности вещей, о которых говориться в посылках. Проще говоря – вывод от общего к частному. К примеру:
1 посылка: «В группе 311 все студенты отличники».
2 посылка: «Этот ученик из 311 группы»
Вывод: «Этот ученик – отличник».
Еще пример:


Вывод: «Этот шарик красный».

Преимущество дедуктивного метода заключается в том, что при правильном использовании всегда дает точные выводы. Важно понимать, что все посылки входящие в силлогизм должны быть истинными, ложность хотя бы одной из них, ведет к ложности вывода. В принципе кто знаком с произведениями Артура Конана Дойля, должен был слышать о дедуктивном способе мышления. Его использовал Шерлок Холмс, в одном из произведений он приводит пример своего дедуктивного умозаключения Ватсону. Около жертвы преступления было найдена выкуренная сигарета, все решили, что сигарету выкурил полковник перед смертью. Однако у покойного были большие пышные усы, а сигарета была докуренная полностью. Шерлок Холм берется доказывать, что полковник не мог курить эту сигарету, так как он непременно бы подпалил бы себе усы. Вывод дедуктивный и верный, так как из общего правила вытекает частное.
Общее правило и первая посылка, выглядит так: «Все люди, которые носят большие, пышные усы не могут выкурить сигарету до конца»
Событие или вторая посылка выглядит так: «Полковник носил большие, пышные усы».
Вывод: «Полковник не мог выкурить сигарету до конца»

Индукция – метод, при котором вывод об общем делается из совокупности частных случаев. Проще говоря – это вывод от частного к общему. И пример тому:
1 посылка: «Первый, второй и третий студент – отличники».
2 посылка: «Эти студенты из 311 группы».
Вывод: «Все студенты в 311 группе – отличники».

1 посылка: ««Этот шарик красный».
2 посылка: «Этот шарик их этого ящика».
Вывод: «В этом ящике все шарики красные»

Некоторые учебники различают полную и не полную индукцию, полная индукция это когда перечисляются все элементы конечного множества вещей, о котором рассуждают. В нашем примере берутся все ученики и проверяют отличники они все или нет, а уже потом заключают обо всей группе. Не полная или частичная индукция – это наши примеры, в которых берутся только некоторые элементы конечного множества вещей. Само собой разумеется, не полное индуктивное заключения, на отмену от дедуктивного носит вероятностный, а не достоверный характер. Тем не менее, это не мешает пользоваться этим методом умозаключения в повседневной жизни. К примеру, мы, я уверен, слышали такое высказывание из уст женщины «Все мужчины – козлы», а ведь вывод об общем сделан из частного, по всем правилам индуктивного мышления.
1 посылка: «Первый человек – козел»
2 посылка: «Второй человек – козел».
3 посылка: «Эти люди – мужчины»
Вывод: «Все мужчины – козлы».

Чаще всего не полные индуктивные выводы – неверные. Их преимущество состоит в том, что они направленны на расширения знаний о предмете, могут указать на новые их свойства, в то время как индуктивный метод чаще всего направлен на выяснения уже известных фактов.

Я с некоторыми другими логиками выделяю еще такой вид умозаключения как Абдукция. Абдукция – это вид умозаключения, при котором на основе общего, делается вывод о причине частного, проще говоря – это вывод от общего к причине частного.
Я считаю, на отмену от общепринятого мнения, что именно этот вид умозаключений использовал на самом деле Шерлок Холмс, а так же другие реальные и не реальные детективы.
Чтобы понять, в чем заключается суть Абдукции, ее лучше рассматривать в сравнении с другими видами умозаключения.

Итак, вспомним наш пример Дедукции:
1 посылка: «В этом ящике все шарики красные»
2 посылка: «Этот шарик их этого ящика»
Вывод: «Этот шарик красный».
Назовем первое суждение правилом (А), второе - случаем или причиной (Б), а третье, которое в данном случае является выводом – результатом (В). Так их и обозначим:

В: «Этот шарик красный».
Как видим с помощью дедукции – мы узнали результат, теперь переделаем рассуждения под индукцию:

Б: «Этот шарик их этого ящика»
В: «Этот шарик красный».
А: «В этом ящике все шарики красные»
Индукция, вывод от частного к общему открыл нам правило. Не трудно догадаться, что должен быть еще один вид умозаключений, который открывал бы нам случай, причину, ним и является Абдукция. Такой вид умозаключений будет выглядит так:

А: «В этом ящике все шарики красные»
В: «Этот шарик красный».
Б: «Этот шарик их этого ящика»
Особенность абдукции заключается еще в том, что мы всегда можем мысленно поставить вопрос: «По какой причине?», или «Почему?» перед выводом в данном методе умозаключения. «В этом ящике все шарики красные. Этот шарик красный. Почему, по какой причине этот шарик красный? Потому, что этот шарик из этого ящика». Еще пример:
А: «Все люди – смертные».
В: «Сократ – смертный».
Б: «Сократ - человек».
«Почему, по какой причине Сократ смертный? Потому, что Сократ – человек».

Существует, еще такой вид умозаключений как «вывод по аналогии». Это когда на основе свойств, признаков одного предмета делается вывод о свойствах другого. Формально это выглядит так:
Предмет А имеет свойство а, б, с, д.
Предмет В имеет свойсво а, б, с.
Вероятно В имеет и свойство д.
Так же как и неполная индукция умозаключения по аналогии носит вероятностный характер, но, не смотря на это, он широко используется, как в повседневной жизни, так и в науке.

Вернемся к дедукции. Мы предположили, что дедуктивный вид умозаключения имеет достоверный характер. Но, тем не менее, надо выделить некоторые правила простого силлогизм, чтобы это было действительно так. Итак, рассмотрим общие правила силлогизма.
1. В силлогизме должно быть только три термина или не должно быть термина, который употребляется в двух значениях. Если такой есть считается, что в силлогизме больше трех терминов, так как четвертый подразумевается. К примеру:
Движение – вечно.
Хождение в университет – это движение.
Хождение в университет – вечно.

Термин «Движение» употреблено в двух смыслах, в первом суждении, первой посылке оно обозначает всеобщее мировое изменения. А во второй механическое передвижение из одной точки в другую.

2. Средний термин должен быть распределён хотя бы в одной из посылок. Средний термин – это термин, который является базисом рассуждения и находиться в каждой из посылок.
Все хищные животные (+) – живые существа (-)
Все хомяки (+) – живые существа (-).
Все хомяки – хищные животные.
Средним термином является «живые существа». В обоих посылках его объем не распределён. В первой посылке оно не распределено, потому, что живые существа – это не только хищные животные. А во втором, потому, что живые существа – это не только все хомяки. Соответственно вывод в данном суждении не верный.
Еще один пример, который недавно прочел в одном журнале:
Все старые фильмы (+) – черно белые (-)
Все пингвины (+) – черно белые (-).
Пингвины – это старые фильмы.
Средний термин, то есть термин, который встречается в двух посылках – «черно белый». Как в первом, так и во втором суждении он не распределён, ведь черно белыми могут быть не только все старые фильмы или все пингвины.

3. Термин, который не распределён в одной из посылки, не может быть распределён в выводе. Например:
Все кошки (+) – живые существа (-).
Все собаки (+) – это не кошки (+).
Все собаки (+) – это не живые существа (+).
Как видим следствие такого умозаключения - ложно.

4. Посылки силлогизма не могут быть только отрицательными. Вывод в таком силлогизме в лучшем случае будет вероятностным, но чаще всего его либо вообще невозможно сделать, либо он ложен.

5.Посылки силлогизма не могут быть только частными. Хотя бы одна посылка из силлогизма должна быть общая. В силлогизме, в котором две посылки частные сделать вывод не возможно.

6.Если в силлогизме одна посылка отрицательная, то и вывод будет отрицательным.

7.Если в силлогизме одна посылка частная, вывод из него следует так же только частный.

Силлогизм – самый распространённый вид умозаключений, потому, мы часто используем его в повседневной жизни и науке. Однако мы редко соблюдаем его логическую форму, и пользуемся сокращенными силлогизмами. К примеру: «Сократ смертный, потому, что все люди смертные». «Этот шарик красный, потому, что его взяли из ящика, в котором все шарики красные». «Железо – электропроводно, так как все металлы электропроводны» и т.д.

Различают такие виды сокращенного силлогизма:
Энтимема – это сокращенный силлогизм, в котором пропущена одна из посылок или вывод. Понятно, что из простого силлогизма можно вывести три энтимемы. К примеру, из простого силлогизма:
Все металлы – электропроводные.
Железо – это метал.
Железо – электропроводно.
Можно вывести три энтимемы:
1. «Железо – электропроводно так как оно является металлом». (пропущена первая посылка)
2. «Железо – электропроводно потому, что все металлы электропроводны». (пропущена вторая посылка)
3. «Все металлы электропроводны, а железо тоже метал». (пропущен вывод)

Следующий вид сокращенного умозаключения – Эпихейрема. Оно являет собой простой силлогизм, в которой две посылки – энтимемы.
Сначала сделаем из двух силлогизмов энтимемы:

Силлогизм №1.
Все то, что ограничивает человеческую свободу, делает его рабом.
Социальная необходимость ограничивает человеческую свободу
Социальная необходимость делает человека рабом.

Первая энтимема, если пропустить первую посылку будет выгладить так:
«Социальная необходимость делает человека рабом, потому, что ограничивает человеческую свободу.
Силлогизм №2.
Все действия, которые дают возможность существовать в социуме – являются социальной необходимостью.
Работа – это действие, которое дает возможность существовать в социуме.
Работа – это социальная необходимость.
Вторая энтимема, если пропустить первую посылку: «Работа – это социальная необходимость, так как является действием, которое дает возможность существовать в социуме».

Теперь сделаем силлогизм из двух энтимем, который и будет нашей эпихейремой:
Социальная необходимость делает человека рабом, потому, что ограничивает человеческую свободу.
Работа – это социальная необходимость, так как является действием, которое дает возможность существовать в социуме.
Работа – делает человека рабом.

Не исключено, что именно в таком порядке рассуждал Ницше говоря: «Мы видим, к чему сводится жизнь в обществе - каждый отдельный индивид приносится в жертву и служит орудием. Пройдите по улице, и вы увидите только «рабов». Куда? Зачем?»

Еще один вид силлогизма, полисиллогизм – это два или более простых силлогизмов, которые связаны таким образом, что вывод одного силлогизма становиться посылкой другого. К примеру:


Изучения наук – полезно.
Логика – это наука.
Изучения логики – полезно.
Как видим вывод первого силлогизма - «Изучения наук – полезно», стал первой посылкой второго простого силлогизма.

Сорит – полисиллогизм, в котором пропущено суждение, связывающее два простых силлогизма, то есть вывод первого силлогизма, который стал первой посылкой второго, попросту упускается.
Все что развивает память и мышления – полезно.
Изучения наук – развивает память и мышления.
Логика – это наука.
Изучения логики – полезно.
Как видим суть силлогизма от того, что оно из полисиллогизма превратилось в сорит, не поменялась.

Большую часть знаний об окружающей нас действительности мы получаем с помощью рассуждений. Выводы в них будут истинными, если они являются результатами правильных рассуждений. Правильными рассуждениями считают рассуждения, построенные по правилам логики. Учителю нужны знания о тех правилах, в соответствии с которыми строятся правильные рассуждения. Рассуждения лежат в основе доказательств, без которых трудно представить математику.

В логике наряду с термином «рассуждение» используется термин «умозаключение».

Умозаключением (рассуждением) называется логическая операция, в результате которой получают новое знание на основе некоторого имеющегося знания или из некоторых утверждений А 1, А 2, А 3, А 4 … А n (n > 1) получают новое по отношению к исходным, утверждение В.

Умозаключение состоит из посылок и заключения .

Посылки умозаключения – это исходные утверждения, а заключением называется новое утверждение, т.е. утверждение, содержащее новое знание.

В логике принято указывать вначале посылки, а потом заключение, но в конкретном умозаключении их порядок может быть произвольным: вначале заключение – потом посылки; заключение может находиться между посылками.

Пример 1. Из двух утверждений «Все жидкости упруги» и «Вода – жидкость», можно получить новое утверждение следующим образом: «Все жидкости упруги. Вода – жидкость, значит, вода упруга». Здесь исходные утверждения «Все жидкости упруги» и «Вода – жидкость» являются посылками, а новое утверждение «Вода упруга» является заключением умозаключения.

Рассмотрим примеры умозаключений, которые выполняют младшие школьники при изучении математики.

Пример 2. Ученику предлагается объяснить, почему число 35 можно представить в виде суммы 30 и 5. Он рассуждает: «Число 23 – двухзначное. Любое двухзначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Следовательно, 35=30+5».

В этом умозаключении первое и второе предложения – посылки, причем первая – частная (характеризует только 35), а вторая – общего характера; заключение – это часть предложения, которая стоит после слова «следовательно», причем заключение носит частный характер.

Пример 3. Один из приемов ознакомления с переместительным свойством умножения заключается в следующем. Используя различные средства наглядности, школьники вместе с учителем устанавливают, что, например, 2∙5=5∙2, 6∙3=3∙6, 4∙7=7∙4. А затем на основе полученных равенств делают вывод: для всех натуральных чисел а и в верно равенство а∙в =в∙а .

В данном умозаключении посылками являются первые три равенства, в которых утверждается, что для конкретных натуральных чисел выполняется такое свойство, т.е. посылки будут частными. Заключением является утверждение общего характера – сделанный вывод.

Как видно из рассмотренных примеров, умозаключения бывают разные. В примерах 1 и 2 заключение логически следует из посылок, и мы не сомневаемся в его истинности.

В зависимости от того, существует ли между посылками и заключением отношение логического следования, выделяют два вида умозаключений: дедуктивные (лат. слово «deduction» означает «выведение »), которые в логике считают правильными и недедуктивные (неправильные) .

Дедуктивным умозаключением называется умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования, т.е. во всех случаях, когда посылки истинны, заключение тоже истинно.

Если посылки умозаключения обозначить буквами А 1 ,А 2 ,... А n , а заключение - буквой В, то схематично умозаключение можно представить в виде: А 1 ,А 2 ,...А n ⇒В.

Используют в логике и такую запись . Черта в данной записи заменяет слово «следовательно» («значит»).

В дедуктивном умозаключении из истинных посылок всегда следует истинное заключение. К дедуктивным умозаключениям относятся, например, следующие:

Пример 4. «Если идет дождь, то земля становится мокрой. Идет дождь. Следовательно, земля мокрая».

Пример 5. . Пример 6. .

Пример 7. Если х ∶2, то х - четное число. Число 2002∶2 .

Число 2002 - четное.

Пример 8. Если х ∶9, то х ∶3. Число 122 не делится на 3.

Число 122 не делится на 9.

Правильность умозаключения определяется его формой, а не истинностью входящих в него утверждений. При анализе правильности умозаключения необходимо помнить о том, что нельзя отождествлять правильность умозаключения с истинностью полученного вывода. В логике существуют правила, соблюдая которые, можно строить дедуктивные умозаключения. Эти правила называют правилами вывода или схемами дедуктивных умозаключений .

Наиболее часто встречаются следующие схемы дедуктивных умозаключений:

1. А(х )⇒В(х ), А(а ) - правило заключения ;

В(а )

2. А(х )⇒В(х ), В(а ) - правило отрицания ;

А(а )

3. А(х )⇒В(х ), В(х )⇒С(х ) - правило силлогизма .

А(х )⇒С(х )

В рассмотренных примерах 4 и 7 умозаключение построено по правилу заключения, в примерах 5 и 6 – по правилу силлогизма, в примере 8 – по правилу отрицания, значит все они дедуктивные умозаключения.

Приведем примеры умозаключений (рассуждений).

1) Нетрудно убедиться в истинности следующих высказываний:

3 + 2 < 3 · 2 (А 1),

4 + 3 < 4 · 3 (А 2),

7 + 5 < 7 · 5 (А 3).

На их основе можно сделать вывод (В): сумма двух любых натуральных чисел всегда меньше их произведения.

2) Если число х при счете называют раньше числа у, то х меньше у (А 1). Число 7 называют при счете раньше числа 8 (А 2). Следовательно, 7 < 8 (В).

Правильно строить дедуктивные умозаключения, анализировать их помогают правила логики:

Утверждение А (х ) Þ В (х ) называют общей посылкой, А (а ) – частной посылкой, В (а ) – заключением. По этому правилу выполнено умозаключение в примере 2.

Приведем пример использования этого правила в работе с дошкольниками.

Имеется одинаковое число чашек и блюдец.

Задание ребенку: «Покажи, что чашек столько же, сколько блюдец».

Рассуждения ребенка: «Поставим на каждое блюдце чашку».

Приведем пример умозаключения по этому правилу:

Рассмотрим пример использования правила отрицания в работе с дошкольниками.

Имеется несколько чашек и блюдец.

Задание ребенку: «Установи, поровну ли чашек и блюдец».

Рассуждения ребенка: «На одном блюдце нет чашки, значит блюдец больше, чем чашек».

Ошибки в рассуждениях, неправильные чертежи, неумение использовать теоремы и формулы приводят к ложному заключению.

Математики стали специально придумывать умышленно неправильные рассуждения, имеющие видимость правильного. Такие рассуждения называются софизмы. Разбор софизмов формирует умение правильно рассуждать, помогает усваивать многие математические факты.

Верно ли равенство? 25 + 35 – 60 = 30 + 42 – 72

Вынесем общий множитель за скобку. 5 · (5 + 7 – 12) = 6 · (5 + 7 – 12)

Разделим правую и левую часть 5 = 6

равенства на выражение в скобках.

Где ошибка? На 0 делить нельзя!

Существуют умозаключения, отличные от дедуктивных. Примером таких умозаключений могут быть неполная индукция и аналогия.

Неполная индукция – это умозаключение, при котором на основании того, что некоторые объекты совокупности обладают определенным свойством, делается вывод, что этим свойством обладают все объекты этой совокупности.

Примером неполной индукции является умозаключение в примере 1. Выводы в таких умозаключениях могут быть как истинными, так и ложными. В примере 1 заключение ложное.

Чтобы в этом убедиться, достаточно привести контрпример:

числа 3 и 1 – натуральные, 3 + 1 = 4, 3 · 1 = 3, 4 не меньше 3, т.е. нашлись два натуральных числа, сумма которых не меньше их произведения.

Рассмотрим еще один пример использования неполной индукции. Известно, что 15 делится на 5, 25 делится на 5, 35 делится на 5. Следовательно, можно утверждать, что любое число, запись которого оканчивается цифрой5, делится на 5. В данном случае заключение истинно – нам известен признак делимости на 5.

Выводы, получаемые при неполной индукции носит характер предположения, гипотезы. Их надо доказывать или опровергать.

Велика роль неполной индукции как способа получения общего знания, как способ открытия закономерностей, правил. Использование неполной индукции в обучении способствует развитию умений сравнивать, обобщать, делать выводы.

Приведем пример использования неполной индукции в работе с дошкольниками:

Наглядный материал: «Чудесный мешочек» с объемными геометрическими фигурами.

Задание ребенку: «Достань одну фигуру и назови».

Варианты ответов: - шар,

Здесь, наверное, все шары.

Иногда при обучении дошкольников используют вывод по аналогии , при котором осуществляют перенос знаний с изученного объекта на другой, менее изученный объект.

1) «У четырехугольника 4 угла и 4 стороны, следовательно у пятиугольника 5 углов и 5 сторон».

2) «Если треугольник разделит пополам,

получится два треугольника, следовательно,

если квадрат разделить пополам получится

два квадрата» (рис. 10). Рис. 9

Выводы полученные по аналогии могут быть истинными или ложными, их надо доказывать дедуктивным способом или опровергать контрпримером. Аналогия важна тем, что наводит нас на догадки, способствует развитию математической интуиции.

Задание 1. Назовите существенные свойства А В

Фигуры, изображенной на рисунке 2.

Ну вот мы и добрались до самого главного. Основная задача логики – анализ рассуждений, а рассуждения складываются из предложений и слов или, говоря иначе, из суждений и понятий. Поэтому знакомство с логикой мы и начали с рассмотрения тех простых элементов, из которых образуются сложные мыслительные конструкции. Теперь можно познакомиться с самими этими конструкциями.

Умозаключение есть форма мышления, в которой из одного или нескольких суждений на основании определенных правил получают новое суждение.

Наши рассуждения в повседневной жизни или в профессиональной сфере – это и есть умозаключения или цепи умозаключений. Умозаключение есть средство извлечения нового знания из уже имеющегося. То знание, которое мы получаем в результате непосредственного контакта с окружающей средой, очень невелико – оно ненамного превосходит знания животных. Но на этом небольшом фундаменте человек воздвиг колоссальное сооружение, включающее в себя знание о звездах и галактиках, о структуре атома и элементарных частицах, о законах, управляющих наследственностью, о древних цивилизациях, об исчезнувших языках и океанских глубинах. Все это знание получено благодаря умению человека строить умозаключения.

Иногда человеческий ум определяют как способность строить умозаключения, делать выводы. Может быть, ум состоит не только в этом, но, несомненно, способность строить умозаключения и извлекать выводы из имеющейся информации – одна из важнейших его сторон. Вы смотрите утром на градусник, висящий за окном, и видите, что ртуть в нем опустилась до –70°C. Вот все, что у вас есть. Но отсюда вы делаете вывод, что на улице мороз. Вы еще не были на улице, не ощутили своей кожей укусов ветра, но уже знаете – там холодно. Откуда у вас это знание? Его вам дало умозаключение. Вы можете сделать еще один вывод: выходя на улицу, нужно одеться потеплее. Вы предвидите, какое воздействие окажет на вас мороз. Предвидение – это тоже умозаключение. Умный человек – тот, кто способен извлечь из имеющегося знания максимум новой информации, предвидеть ход событий и последствия своих действий. Шерлок Холмс и его друг доктор Ватсон часто ходят вместе, видят и слышат одно и то же, однако Холмс умеет извлечь из этого гораздо больше, чем Ватсон, поэтому и кажется нам умнее и проницательнее своего друга.

Всякое умозаключение состоит из двух частей: те суждения, из которых мы исходим, на которые мы опираемся в умозаключении, называются его посылками, новое суждение, извлекаемое нами из посылок, называется выводом. Все умозаключения разделяются на две большие группы – дедуктивные и индуктивные.

Дедуктивными называют такие умозаключения, в которых вывод из посылок следует с необходимостью, т.е. если посылки умозаключения истинны, то вывод обязательно будет истинным. Например, если мы знаем, что все гасконцы являются французами и д"Артаньян является гасконцем, то отсюда мы можем сделать вывод о том, что д"Артаньян является французом. И этот вывод будет безусловно истинным.

Об индуктивных умозаключениях мы позднее поговорим особо (в разделе «Индукция»), а сейчас познакомимся с некоторыми простыми и наиболее употребительными дедуктивными умозаключениями. Мы интуитивно используем их в повседневных рассуждениях, но часто ошибаемся, ибо не отдаем себе отчета в том, что это такое.

1) Вдоль стен квадратного бастиона комендант разместил 16 часовых, по 5 человек с каждой стороны, так, как показано на рисунке:

Через некоторое время пришел полковник, выразил недовольство расстановкой часовых и переставил их так, что с каждой стороны оказалось по 6 человек. Однако после этого появился генерал. Он также выразил недовольство и переставил часовых таким образом, что с каждой стороны их оказалось по 7.

Как расположил часовых полковник? Как их расставил генерал? Общее число часовых остается одним и тем же.

Непосредственные умозаключения

Непосредственными называют умозаключения из одной посылки, представляющей собой простое суждение.

Превращение состоит в том, что мы в нашу посылку вставляем два отрицания – одно перед связкой, а другое – перед предикатом, и так получаем новое суждение. Умозаключения принято изображать так: сначала пишется посылка (или посылки), под ней проводится черта, обозначающая слово «следовательно», а под чертой пишется вывод. Пусть посылкой у нас будет общеутвердительное суждение, тогда превращение выглядит так:

Все S есть P

Ни одно S не есть не-P

Например, суждение «Все металлы электропроводны» превращается в суждение «Ни один металл не является неэлектропроводным».

Если в качестве посылки взять общеотрицательное суждение, то превращение будет выглядеть так:

Ни одно S не есть P

Bce S есть не-P

Например, суждение «Ни один мошенник не является честным человеком» превращается в суждение «Все мошенники являются нечестными людьми». Когда здесь мы вставляем «не» перед связкой, то перед ней получаются два «не». Мы устраняем их, опираясь на принцип: двойное отрицание эквивалентно утверждению.

Конечно, вывод в таких умозаключениях дает очень мало нового по сравнению с посылкой. Это вполне естественно, так как мы по сути дела одному и тому же суждению лишь придаем иную языковую форму. Это не столько логическая, сколько грамматическая игра. Однако преобразование такого рода способно сделать явными некоторые оттенки смысла первоначального суждения, которые были скрыты в исходной формулировке. Мы часто пользуемся превращением суждений в повседневной жизни, когда хотим более ясно и отчетливо выразить свою мысль. Это часть нашей языковой способности.

Еще одной разновидностью непосредственного умозаключения является обращение. При обращении вывод получается путем постановки предиката посылки на место субъекта, а субъекта посылки – на место предиката. Общая схема обращения выглядит следующим образом:

Например, из суждения «Птицы есть позвоночные» мы путем обращения получаем вывод «Позвоночные есть птицы». Для того чтобы реально осуществить обращение, мы должны не просто поменять местами субъект и предикат, а сделать объект, отображаемый предикатом посылки, предметом нашей мысли, т.е. превратить его в субъект нового суждения. Иногда, например, производят обращение так: из суждения «Все рыбы дышат жабрами» получают вывод «Дышат жабрами все рыбы». Здесь нет логической операции обращения! Мы просто поменяли местами подлежащее и сказуемое. Чтобы получить обращение первоначального суждения, мы должны сделать предметом нашей мысли «дышащих жабрами» и говорить о них: «Дышащие жабрами есть рыбы».

В посылке перед субъектом стоит слово (квантор): «все» или «некоторые». Возникает вопрос: что мы должны поставить перед предикатом посылки, когда делаем его субъектом вывода, – «все» или «некоторые»? «Все дышащие жабрами» или только «некоторые дышащие жабрами» есть рыбы? Пытаясь ответить на этот вопрос, мы начинаем вдумываться в содержание понятия «дышащие жабрами», вспоминаем, а кто еще, помимо рыб, мог бы дышать жабрами, быть может, лягушки или какие-нибудь тритоны? Не нужно всего этого! Логика – наука формальная и вовсе не обязана знать, чем занимаются лягушки или рыбы, как математика, складывая 2 и 3, вовсе не интересуется тем, что вы считаете – рубли, доллары или кирпичи. Логика задает формальные правила, не зависящие от содержания наших понятий и суждений. В данном случае правило таково: если посылкой является утвердительное суждение, то при обращении перед предикатом ставят слово «некоторые»; если же посылка является отрицательным суждением, то перед предикатом ставят слово «все». Наша посылка «Все рыбы дышат жабрами» является утвердительным суждением, значит, из нее можно сделать вывод «Некоторые дышащие жабрами есть рыбы». А вот из отрицательной посылки «Ни один слон не живет в Арктике» можно сделать общий вывод «Всякий живущий в Арктике не есть слон».

2) Три путешественника забрели на постоялый двор, хорошо покушали, заплатили хозяйке 30 руб. и пошли дальше. Через некоторое время после их ухода хозяйка обнаружила, что взяла с путешественников лишнее. Будучи женщиной честной, она оставила себе 25 руб., а 5 руб. дала мальчику, наказав ему догнать путешественников и отдать им эти деньги. Мальчик бегал быстро и скоро догнал путешественников. Как им разделить 5 руб. на троих? Каждый из них взял по 1 руб., а 2 руб. оставили мальчику в награду за быстроногость.

Таким образом, они заплатили за обед по 10руб., но по 1 руб. получили обратно, следовательно, они заплатили: 9х3 = 27руб. Да 2 руб. осталось у мальчика: 27 + 2 = 29 руб. Но вначале-то было 30 руб.! Куда делся 1 руб.?

3) Жили-были два пастуха, Иван да Петр, пасли они овец. И вот как-то Иван говорит: «Слушай, отдай мне одну овцу, тогда у меня овец будет в 3 раза больше, чем у тебя!». «Нет, – отвечает Петр, – лучше ты мне отдай одну овцу, тогда у нас их станет поровну!»

Сколько овец было у Ивана и сколько у Петра?

Умозаключения из одной посылки просты. Несколько более сложными являются умозаключения из двух посылок. Среди них одно из наиболее распространенных – простой категорический силлогизм Его открыл в наших повседневных рассуждениях и описал Аристотель, и в значительной мере именно поэтому он считается создателем логики как науки. Вот пример простого категорического силлогизма:

Все люди смертны.

Сократ – человек.

Сократ смертен.

Здесь мы видим уже две посылки: «Все люди смертны» и «Сократ – человек». Из этих двух суждений мы выводим новое суждение «Сократ смертей». Если вы обратите внимание на свои рассуждения, то очень скоро обнаружите, что часто используете такой способ вывода.

Понятия, из которых состоят посылки и вывод силлогизма, называются его терминами. В силлогизме всего три термина.

Меньшим термином силлогизма называется субъект вывода. Он обозначается буквой «S», как субъект в структуре простого суждения. Но здесь эта буква обозначает меньший термин, который в посылке может встретиться и на месте предиката. В нашем примере меньшим термином будет понятие «Сократ».

Большим термином силлогизма называется предикат вывода. Он обозначается буквой «P», как предикат в структуре простого суждения, но здесь эта буква обозначает больший термин, который в посылке может стоять и на месте субъекта. В нашем примере большим термином будет понятие «смертны».

Наконец, средним термином силлогизма называется понятие, входящее в обе посылки, но отсутствующее в выводе. Он обозначается буквой «M». В нашем примере средним термином является понятие «люди». (Слова «люди» и «человек» выражают одно и то же понятие, различие между ними носит лишь грамматический характер, не обращайте на него внимания.)

Силлогизм – это умозаключение, говорящее о соотношении объемов входящих в него понятий. Первая посылка говорит о том, что класс людей входит в класс смертных существ; вторая посылка говорит о том, что Сократ входит в класс людей; опираясь на эти два соотношения, мы делаем вывод о том, что Сократ включается в класс смертных существ.

Мы часто строим свои рассуждения в виде простого категорического силлогизма, опираясь на свою интуицию. Но часто ошибаемся при этом. Логика устанавливает некоторые простые правила, которые помогают избежать ошибок и неверных выводов.

Например, в силлогизме должно быть только три термина. Если появляется четвертый термин, силлогизм разрушается: мы не можем найти среднего термина и сделать вывод. Даны вам, скажем, такие посылки:

Все артисты самолюбивы.

Олег Табаков талантлив.

Здесь четыре термина. Какой из них считать средним? Какой меньшим или большим? Это просто два никак не связанных между собой суждения, из которых никакого нового знания извлечь нельзя. Ошибка, связанная с нарушением указанного правила, так и называется – «учетверение терминов». Кажется, что эту ошибку трудно совершить. Однако она встречается довольно часто и обусловлена многозначностью слов нашего повседневного языка. Одно и то же слово в одной посылке может употребляться в одном смысле, а в другой посылке – в ином смысле и выражать, таким образом, два разных понятия. Получается четыре термина, хотя слов-то всего три. Например:

Движение вечно.

Хождение в институт – движение.

Хождение в институт вечно.

Здесь слово «движение» в одной посылке употребляется для выражения философского понятия движения как универсального свойства материального мира, а в другой посылке оно выражает бытовое, обыденное понятие движения. Поэтому и получается нелепый вывод.

Шуба греет.

«Шуба» – русское слово.

Некоторые русские слова греют.

Здесь кавычки нам показывают, что слово «шуба» используется в разных смыслах в первой и второй посылках. Однако в устной речи это различие может остаться незамеченным. Приведенные примеры просты и прозрачны, но во многих случаях учетверение терминов носит более тонкий характер и его нелегко распознать.

Еще одно правило гласит: из двух отрицательных посылок нельзя сделать никакого вывода. Например:

Ярко-красные цветы не имеют запаха.

Этот цветок не имеет запаха.

Можно ли сделать вывод о том, что этот цветок ярко-красный? Нет, он может быть любого цвета.

Другие правила силлогизма столь же просты. Теперь взгляните на четыре следующих силлогизма и попробуйте понять, чем они отличаются друг от друга.

Все рыбы плавают.

Щуки являются рыбами.

Щуки плавают.

Всякий человек имеет две ноги.

Буратино имеет две ноги.

Буратино – человек.

Вы можете заметить, что средний термин в этих примерах стоит в посылках на разных местах. В первом примере средний термин «рыбы» в первой посылке стоит на месте субъекта, а во второй – на месте предиката. Во втором средний термин «имеет две ноги» в обеих посылках стоит на месте предиката. В третьем средний термин «птицы» в обеих посылках стоит на месте субъекта. Наконец, в четвертом примере средний термин «параллелограмм» в первой посылке стоит на месте предиката, а во второй – на месте субъекта. Все это разные способы рассуждения, построенные в виде простого категорического силлогизма. Они называются фигурами силлогизма. Иначе говоря: фигурами силлогизма называются его разновидности, отличающиеся друг от друга расположением среднего термина в посылках. Существует всего четыре фигуры. Вот их схематичное представление:

Подставляя вместо букв «S», «P» и «M» различные понятия, мы будем получать рассуждения, имеющие вид одной из фигур силлогизма.

Однако в повседневной речи мы редко пользуемся развернутыми силлогизмами, ибо язык наш – великий лентяй! Он почти никогда не выговаривает полностью всего того, что мы хотим сказать (хотя порой выбалтывает такое, о чем лучше бы умолчать). Обратите внимание на свою речь, на речь ваших друзей и знакомых, и вы легко убедитесь, сколь многое нами не договаривается, подразумевается, как легко ошибиться, домысливая речь собеседника. Вот, например, беседуют два приятеля:

– Ну и чем же закончилась вчера твоя ссора с женой?

– О, я заставил ее встать передо мной на колени.

– Вот как! И что же она сказала?

– Вылезай из-под кровати, подлый трус!

Вот так мы сокращаем и наши силлогизмы, не высказывая в явном виде все его посылки или вывод в надежде на то, что собеседник сам домыслит недостающее звено и поймет нас. Это вполне естественно. Тяжело-разговаривать с человеком, который стремится произнести вслух даже самые очевидные вещи. Он напоминает полковника Фридриха Крауса фон Циллергута из романа Я. Гашека «Похождения бравого солдата Швейка», любившего все пояснять и объяснять и заслужившего вследствие этого славу величайшего осла и зануды. Вряд ли вы долго выдержите такие, например, рассуждения: «Дорога, по обеим сторонам которой тянутся канавы, называется шоссе. Да-с, господа. Знаете ли вы, что такое канава? Канава – это выкопанное значительным числом рабочих углубление. Да-с. Копают канавы при помощи кирок. Известно ли вам, что такое кирка?»

Силлогизм, в котором опущена и лишь подразумевается одна из частей – посылка или вывод, – называется энтимемой. В повседневной жизни мы пользуемся сокращенными силлогизмами – энтимемами. Это вполне естественно, но это также служит причиной многих ошибок в наших рассуждениях. Когда силлогизм представлен в полном виде, ошибку легко заметить. Но если какая-то его часть опущена, подразумевается, то именно в ней-то и может скрываться ошибка – либо подразумеваемая часть ложна, либо образует неправильный силлогизм. Допустим, я высокомерно заявляю:

«Этот человек глуп, так как он не знает логики!» Это энтимема.

Восстановим подразумеваемую посылку и запишем полный силлогизм:

Всякий человек, не знающий логики, глуп.

Этот человек не знает логики.

Этот человек глуп.

Сразу же становится видно, что подразумеваемая и восстановленная посылка ложна: далеко не каждый человек, не знающий логики, глуп. Многие люди, никогда не изучавшие логику, обладают тем не менее острым и проницательным умом. И наоборот, некоторые люди всю жизнь занимаются логикой, оставаясь при этом весьма недалекими личностями. Логика помогает нашему разуму, но все-таки разум нужно иметь – как нужно иметь ноги, чтобы тебе помогали костыли.

4) Произошла кража, и были задержаны трое подозреваемых. Один из них вор, который постоянно лжет; другой является соучастником и лжет лишь иногда; третий – честный человек, который никогда не лжет. Дознание началось с вопросов о профессии каждого из задержанных. Следователь получил такие ответы.

Щукин: я маляр, Карасев – настройщик роялей, а Окунев – дизайнер.

Карасев: я врач, Окунев – страховой агент. Что же касается Щукина, то, если вы его спросите, он ответит, что он маляр.

Окунев: Карасев – настройщик роялей, Щукин – дизайнер, а я – страховой агент.

По этим ответам следователь догадался, кто есть кто. Догадайтесь и вы!

Если вы учились в школе, то, по-видимому, помните простую схему рассуждения, имеющую вид: «Если а, то в; если в, то с; следовательно, если а, то с». Скажем, в арифметике это рассуждение представлено принципом: если две величины порознь равны третьей, то они равны между собой. Такого рода рассуждения называются условными силлогизмами: здесь и посылки и вывод являются условными суждениями. Вот пример условного силлогизма, взятый из рассказа В. Билибина, русского писателя начала XX в.:

«Если бы на свете не существовало Солнца, то пришлось бы постоянно жечь свечи и керосин.

Если бы пришлось постоянно жечь свечи и керосин, то чиновникам не хватало бы их жалованья и они брали бы взятки. Следовательно, чиновники не берут взяток потому, что на свете существует Солнце».

Еще больше распространены рассуждения, в которых одна посылка является условным суждением, вторая посылка и вывод – простыми категорическими суждениями. Такое рассуждение называется условно-категорическим силлогизмом. Например, когда вы чувствуете недомогание, то первое, что вы делаете, ставите себе градусник. И когда вы приходите в поликлинику, то вам опять-таки сначала ставят градусник. Мы исходим при этом из посылки: «Если у человека повышена температура, то человек болен». Если у вас действительно обнаруживается повышенная температура, то вас признают больным, освобождают от работы или учебных занятий, ваши домашние ходят вокруг вас на цыпочках и стараются напоить вас чаем с малиной При этом мы рассуждаем следующим образом:

Если у человека повышена температура, то человек болен.

У данного человека повышена температура. Следовательно, данный человек болен. Представим наше рассуждение в символической форме. Обозначим суждение «У человека повышена температура» буквой A, суждение «Человек болен» – буквой B. Тогда наше рассуждение получит вид:

(стрелка «->» читается как «если… то»). Мы помним, что первая часть условной посылки называется основанием, вторая – следствием. Вторая посылка нашего рассуждения утверждает, что основание имеет место, отсюда мы делаем вывод, что и следствие должно иметь место. Рассуждение, имеющее такой вид, называется утверждающим модусом условно-категорического силлогизма (или modus ponens, если воспользоваться латынью): здесь мы от утверждения основания переходим к утверждению следствия условной посылки.

Однако при той же условной посылке рассуждение может протекать иначе. Поставили вам градусник, но температура оказалась нормальной. Отсюда делают вывод, что вы не больны, от занятий вас не освобождают, чаем вас не поят. Рассуждение имеет вид:

При той же условной посылке можно двигаться к выводу, утверждая или отрицая ее следствие. Таким образом, условно-категорический силлогизм имеет всего четыре модуса:

Первый и последний называются «правильными» модусами: они обеспечивают достоверный вывод; второй и третий – «неправильными» модусами: они не дают достоверного вывода – так рассуждать нельзя, это приведет к ошибке, в чем нетрудно убедиться.

Повышенной температуры у вас не обнаружили, но каждый из нас знает, что это вовсе не означает, что вы не больны: многие болезни не сопровождаются повышением температуры. Поэтому вывод о том, что человек не болен, может оказаться ошибочным. В третьем модусе из того, что человек болен, мы делаем вывод о том, что у него должна быть повышена температура. По тем же самым причинам этот вывод может оказаться ошибочным. Наконец, четвертый модус говорит нам, что если человек не болен, то у него нет температуры. Этот вывод вполне достоверен: если вы здоровы, то температура у вас нормальная.

Таким образом, если вы свое рассуждение строите по первому и последнему модусу – вы рассуждаете правильно; если же свое рассуждение вы строите по второму или третьему модусу – вы рискуете совершить ошибку.

5) «Идите сюда, – сказал я как-то трем студентам. – Вот у меня здесь 5 шапок: 3 белые и 2 черные. Закройте глаза, и я надену на каждого из вас шапку. Когда вы откроете глаза, то сможете увидеть, какого цвета шапки на ваших товарищах. Свою собственную шапку вы увидеть не сможете и не увидите, какие шапки остались у меня. Тот, кто догадается, какого цвета на нем шапка, сразу же получит зачет по логике».

Через некоторое время, не обменявшись ни единым словом, студенты закричали: «На мне белая шапка!» Пришлось мне всем троим поставить зачет. А вы бы догадались?

Например, просыпаетесь вы утром и, еще лежа в постели, начинаете рассуждать: «Сегодня днем я могу пойти на свидание или на занятия. Пойду-ка я на свидание. Следовательно, на занятия я не пойду». Здесь первая посылка вашего рассуждения представляет собой разделительное суждение «Я могу пойти на свидание (A) или пойти на занятия (B)», символически: A v B. Вторая посылка утверждает одну из возможностей, указанных в разделительной посылке: «Я пойду на свидание» (A). Вывод отрицает вторую возможность: «Следовательно, я не пойду на занятия» (Не-B). Ясно, что вы можете рассуждать и несколько иначе: «Нет, на свидание я не пойду. Следовательно, я пойду на занятия». Символически эти два способа рассуждения можно представить следующим образом:

Они называются модусами разделительно-категорического силлогизма. Первый модус называется утверждающе-отрицающим, второй – отрицающе-утверждающим. Оба модуса могут приводить как к верным, так и к ошибочным заключениям. Для того чтобы не совершать ошибок при рассуждениях, имеющих вид разделительно-категорического силлогизма, нужно выполнить требование к разделительной посылке. При утверждающе-отрицающем модусе разделительная посылка должна быть строго разделительной, т.е. альтернативы должны исключать друг друга. Если это требование не соблюдено, вывод может оказаться ошибочным. Например, встречаете вы знакомого, идущего с дамой, и думаете: «Эта дама ему мать или жена». Выясняется, что дама приходится ему женой. «Ага, – делаете вы вывод, – значит, она ему не мать». Это – утверждающе-отрицающий модус, и его разделительная посылка является строго разделительной. Вывод вполне достоверен.

Но вот другой случай. Вы видите вашего знакомого, с изможденным видом бредущего по улице. «Он болен или беден», – думаете вы. Выясняется, что ваш знакомый давно и неизлечимо болен. «Значит, он не беден», – делаете вы вывод. Увы, разделительная посылка не является строго разделительной: болезнь и бедность отнюдь не исключают друг друга, особенно в наше время. Вывод может оказаться ошибочным.

Для отрицающе-утверждающего модуса требование таково: разделительная посылка должна быть исчерпывающей, т.е. должна охватывать все возможности, существующие в данной области рассуждений. В противном случае вывод может оказаться неверным.

Логическая структура именно этого модуса часто лежит в основе многих детективных сюжетов и реальной следственной практики. Совершено преступление, и следователь очерчивает круг возможных участников преступления. Дальнейшая его работа или развитие сюжета заключаются в том, что он проверяет подозреваемых и по одному отсеивает их: этот был болен, тот сидел в тюрьме в момент совершения преступления, того видели несколько человек в другом месте и т.д. Кто останется – тот и преступник. Это и есть отрицающе-утверждающий модус: преступление мог совершить A или B; A не мог совершить преступления, следовательно, его совершил B.

Хорошо, если в разделительной посылке перечислены все возможные участники преступления. А если нет? Осуждают B, а через некоторое время выясняется, что следствие упустило из виду некоего C, который и является подлинным преступником: в разделительной посылке рассуждения были учтены не все возможности. Ошибся следователь, мог ошибиться и суд. Поэтому сначала нужно доказать, что разделительная посылка является исчерпывающей, и только потом делать вывод. Тогда он будет вполне достоверным.

Конечно, в повседневной жизни и в профессиональной деятельности мы не ограничиваемся теми простыми выводами, с которыми познакомились. Мы можем соединять и комбинировать их самыми разнообразными способами, например, в одном рассуждении можно соединить условно-категорический и разделительно-категорический силлогизмы, тогда мы получим то, что называют дилеммой:

Если пойдешь направо, коня потеряешь. Если пойдешь налево, голову потеряешь. Но нужно идти направо или налево. Придется потерять коня или голову.

Но сложные комбинации умозаключений можно разложить на их простые формы и, таким образом, проверить правильность наших рассуждений.

6) Зашли как-то три крестьянина на постоялый двор. Попросили они хозяйку сварить им чугунок картофеля, а сами повалились спать. Хозяйка сварила картофель и поставила чугунок на стол.

Проснулся один крестьянин, посчитал количество картофелин и съел ровно 1/3 часть. После этого он опять улегся спать. Проснулся другой крестьянин, посчитал картофелины и, думая, что никто еще не ел, съел ровно 1/3 часть. И тоже лег досыпать. Наконец, проснулся третий крестьянин, посчитал количество картофелин и, думая, что никто еще не ел, съел ровно 1/3 часть. Тут проснулись и его товарищи. Заглянули в чугунок, а там осталось всего 8 картофелин.

Спрашивается: сколько всего картофелин сварила хозяйка? Сколько штук съел каждый крестьянин? Сколько еще должен съесть каждый крестьянин, чтобы всем досталось поровну?

7) Жил-был один дехканин, и было у него 17 основ и 3 сына. Умирая, он завещал поделить ослов между сыновьями таким образом: 1/2 – старшему сыну; 1/3 – среднему и 1/9 – младшему. Кинулись братья делить наследство, да что-то никак не получается: не рубить же осла на части! Позвали судью на помощь, но и тот ничего не смог придумать. Кто-то посоветовал братьям обратиться за помощью к одному мудрому старцу, живущему в соседней деревне. Тот приехал, разделил ослов между братьями так, как завещал отец, и уехал, провожаемый благодарностями.

Как сумел мудрец выполнить завещание отца?

Индукция

Откуда берутся посылки дедуктивных выводов? Что дает нам основание считать их истинными? Конечно, иногда их можно вывести дедуктивно из более общих суждений и посредством этого обосновать их истинность. Однако рано или поздно мы дойдем до таких суждений, для обоснования которых нет более общих посылок, следовательно, их истинность нельзя обосновать дедуктивно. В таких случаях мы прибегаем к помощи индукции.

Индуктивными называют умозаключения, расширяющие наше знание и дающие не достоверный, а лишь вероятный вывод. Посылки индуктивного рассуждения лишь в той или иной степени подтверждают или делают вероятным заключение, но отнюдь не обеспечивают его достоверности. Наиболее типичным индуктивным заключением является вывод от частных случаев к общему утверждению.

В повседневной жизни мы на каждом шагу делаем такие выводы. Когда вы приходите в некое государственное учреждение и даете взятку сначала одному чиновнику, затем другому, вы думаете про себя: «Все чиновники здесь – взяточники!» Или девушка, встретив одного молодого человека и разочаровавшись в нем, затем встретив другого, быть может, уже не столь молодого человека, и вновь испытав разочарование, порой приходит к выводу:

«Все мужчины – подлецы!»

Различают популярную и научную индукцию. При популярной индукции мы спешим сделать обобщение, опираясь на первые попавшиеся частные случаи. Наши примеры как раз демонстрируют индукцию такого рода. Достоверность вывода при популярной индукции весьма невысока, здесь очень легко совершить ошибку, что мы обычно и делаем.

Если же мы сознательно стремимся повысить достоверность индуктивного вывода и принимаем для этого некоторые меры, то такая индукция называется научной. В частности, желательно исследовать как можно больше представителей того класса предметов, к которому относится обобщение. Далее, изучаемые факты должны быть как можно более разнообразными. Наконец, эти факты должны быть типичными для данного класса явлений. При соблюдении этих условий достоверность индуктивного вывода существенно повышается. Так, если бы вы захотели сделать свой вывод о чиновниках данного учреждения более достоверным, вам следовало бы не ограничиваться одним-двумя встреченными вами чиновниками, а познакомиться с большим их количеством, причем принадлежащими к разным ступеням чиновничьей иерархии. Многочисленные примеры подобных выводов можно найти в социологии: стараясь обеспечить достоверность своих утверждений, социолог, по сути, заботится о соблюдении правил научной индукции.

Однако следует помнить о том, что и при соблюдении указанных правил мы можем приходить к ошибочным заключениям. Частые ошибки тех же социологов это наглядно демонстрируют. Но вот пример, придуманный физиками, иллюстрирующий, как обстоит дело в естествознании: «Употреблять в пищу огурцы опасно – с ними связаны все телесные недуги и вообще людские несчастья. Практически все люди, страдающие хроническими заболеваниями, ели огурцы. 99,9% всех людей, умерших от рака, при жизни ели огурцы. 99,7% всех лиц, ставших жертвами авто- и авиакатастроф, употребляли в пищу огурцы в течение двух недель, предшествовавших фатальному несчастному случаю. 93,1% всех несовершеннолетних преступников происходят из семей, где огурцы потребляли постоянно». Этот пример показывает, как легко оснастить ошибочную гипотезу статистическими данными и выдать глупость за научную истину.

Всегда следует помнить о том, что как бы хорошо ни был обоснован индуктивный вывод, сколь бы многочисленными ни были свидетельства в его пользу, с логической точки зрения он всегда остается проблематичным. Поэтому всякий выход за пределы имеющегося знания, всякая попытка получить новое знание связана с риском – с риском ошибиться. Но именно благодаря этому история человеческого познания представляет собой не унылую последовательность неизменных успехов, а драматическое приключение, в котором победы сменяются поражениями, взлеты – падениями, успехи – разочарованиями. Именно риск делает научную игру столь увлекательной и азартной.

1) Эта задача решается просто: нужно переставлять часовых из середины бастиона на его углы, как показано на следующих рисунках:

2) К сожалению, здесь простой и наглый обман. Путешественники действительно заплатили 27 руб. Но это и все, никаких 30 руб. уже нет! Из этих 27 руб. хозяйка взяла себе 25 руб. и 2 руб. осталось у мальчика. На каком основании к этим 27 руб. я добавляю еще 2 руб.? Откуда я их взял? Где они? И деньги хозяйки, и деньги мальчика уже посчитаны – они в уплаченных 27 руб. Я выдумал эти 2 руб., чтобы ввести вас в заблуждение.

3) Для решения этой задачи достаточно несложных арифметических действий. Если Иван отдаст 1 овцу Петру, то овец у них станет поровну. Это позволяет нам составить равенство: овцы Петра + 1 = овцы Ивана – 1. Отсюда мы легко заключаем, что у Ивана на 2 овцы больше. Дальнейшее в том же духе. Ответ: у Петра было 3 овцы, у Ивана – 5.

4) Не знаешь, с чего начать. Но есть одна зацепка, помогающая размотать клубок. Карасев сказал: «Если вы спросите у Щукина о его профессии, он ответит, что он маляр». И Щукин действительно сказал, что он маляр! Значит, Карасев хотя бы одну правду сказал, следовательно, он не может быть вором, который всегда лжет. Может быть, Карасев – соучастник, который иногда говорит правду, а иногда лжет? Тогда вором и честным человеком должны быть Щукин и Окунев, и их ответы должны полностью отличаться один от другого, так как один из них всегда говорит правду, а другой постоянно лжет. Нет, такого не получается: ответы Щукина и Окунева в одном пункте совпадают. Следовательно, только Карасев может быть честным человеком и все, что он сказал, – правда. Ответы Окунева в одном пункте совпадают с ответами Карасева, следовательно, Окунев – соучастник преступления. И естественно, Щукин не может быть никем иным, как вором.

5) Обозначим студентов буквами A, B, C и поставим себя на место A. Он рассуждает так: «Я вижу перед собой две белые шапки. Значит, на мне белая или черная шапка. Если на мне черная шапка, то B видит перед собой черную и белую шапки. Но B ведь тоже рассуждает: „Если бы на мне была черная шапка, то C видел бы перед собой две черные шапки и сразу же догадался бы, что на нем самом белая шапка. Но C молчит, значит, на мне – белая шапка“. Таким образом, – продолжает рассуждать A, – если бы на мне была черная шапка, то B уже догадался бы, что на нем самом должна быть белая шапка. Но B молчит. Значит, он не видит на мне черной шапки. Следовательно, на мне – белая шапка!» Так рассуждал каждый из них, а поскольку все студенты соображали одинаково быстро, они одновременно решили задачу.

6) Здесь важна логика рассуждения, приводящего к решению. Нужно двигаться с конца к началу. В конце осталось 8 картофелин, что равно 2/3 того количества, которое обнаружил в чугунке третий крестьянин. Значит, всего он обнаружил 12 штук. Но это равно 2/3 того количества, которое нашел второй крестьянин. Значит, там было 18 штук. Опять-таки, это равно 2/3 того количества картофеля, которое обнаружил первый крестьянин. Следовательно, первый нашел в чугунке 27 картофелин. Столько картофелин сварила хозяйка. Первый съел 9 штук и больше ни на что претендовать не может. Второй съел 6 штук, и ему еще полагается 3 картофелины. Третий съел всего 4 штуки и должен получить еще 5 картофелин.

7) Эта задача сложная, боюсь, не все с ней справились. Действительно, 17 не делится ни пополам, ни на три части, ни на девять частей. Но вы помните: мудрец приехал, он приехал на осле! Добавив своего осла к ослам братьев, он получил 18 ослов. Половину, т.е. 9 ослов, он отдал старшему брату; третью часть, 6 ослов, он отдал среднему брату и девятую часть – двух ослов – передал младшему. Итак: 9 + 6 + 2 = 17. После этого он сел на своего осла и уехал.

Что такое умозаключение? Это определённая форма мышления и единственно правильно сделанный вывод. Конкретика такова: в процессе познания становится понятно, что утверждения, подсказанные очевидностью, не все являются истиной, а лишь определённая их часть.

Для установления полной истины обычно проводится тщательное расследование: чётко обозначить вопросы, соотнести друг с другом уже установленные истины, дособрать нужные факты, произвести опыты, проверить все попутно возникающие догадки и вывести заключительный результат. Вот оно и будет - умозаключение.

Категорический силлогизм

Дедуктивное категорическое умозаключение - это такое, где из двух истинных суждений следует заключение. Понятия, находящиеся в составе силлогизма, обозначаются терминами. имеет три термина:

• предикат заключения (P) - больший термин;
• субъект заключения (S) - меньший термин;
• связка посылок P и S, отсутствующая в заключении (M) - средний термин.

Формы силлогизма, которые различаются по среднему термину (M) в посылках, называются фигурами в категорическом силлогизме. Существуют четыре таких фигуры, каждая со своими правилами.

• 1 фигура: общая большая посылка, утвердительная меньшая;
• 2 фигура: общая большая посылка, отрицательная меньшая;
• 3 фигура: утвердительная меньшая посылка, частное заключение;
• 4 фигура: заключение не бывает общеутвердительным суждением.

У каждой фигуры может быть несколько модусов (это разные силлогизмы по качественной и количественной характеристике посылок и заключений). В итоге фигуры силлогизма имеют девятнадцать правильных модусов, каждому из которых присвоено собственное латинское название.

Простой категорический силлогизм: общие правила

Чтобы заключение в силлогизме получилось истинным, нужно пользоваться истинными посылками, чтить правила фигур и простого категорического силлогизма. Методы умозаключения требуют соблюдения следующих правил:

• Не допускать учетверения терминов, их должно быть только три. Например, движение (M) - вечно (P); хождение в университет (S) - движение (M); заключение ложно: хождение в университет вечно. Средний термин здесь употреблён в разных смыслах: одно - в философском, другое - обиходное.
• Средний термин обязательно распределяется хотя бы в одной из посылок. Например, все рыбы (P) умеют плавать (M); моя сестра (S) умеет плавать (M); моя сестра - рыба. Вывод ложный.
• Термин заключения распределяется только после распределения в посылке. Например, во всех заполярных городах - белые ночи; Санкт-Петербург - не заполярный город; в Санкт-Петербурге не бывает белых ночей. Термин заключения содержит больше, чем посылки, больший термин расширился.

Существуют правила употребления посылок, которых требует форма умозаключения, их тоже необходимо соблюдать.

• Две отрицательные посылки вывода не дают. Например, киты - не рыбы; щуки - не киты. И что?
• При одной отрицательной посылке обязательно отрицательное заключение.
• Из двух частных посылок невозможен вывод.
• При одной частной посылке обязательно частное заключение.

Условные умозаключения

Когда обе посылки - условные суждения, получается чисто условный силлогизм. Например, если А, то Б; если Б, то В; если А, то В. Наглядно: если сложить два то сумма получится чётной; если сумма чётная, то можно делить на два без остатка; следовательно, если сложить два числа нечётных, то можно сумму делить без остатка. Для подобного отношения суждений есть формула: следствие следствия - это следствие основания.

Условно-категорический силлогизм

Что такое умозаключение суждение бывает в первой посылке, а во второй посылке и заключении - категорические суждения. Модус здесь может быть либо утверждающий, либо отрицающий. При утверждающем модусе, если вторая посылка утверждает следствие первой, вывод получится только вероятным. При отрицательном модусе, если отрицается основание условной посылки, вывод тоже получается только вероятным. Таковы условные умозаключения.

• Не знаешь - молчи. Молчишь - вероятно, не знаешь (если А, то Б; если Б, то, вероятно, А).
• Если идёт снег, наступила зима. Зима наступила - вероятно, идёт снег.
• Если солнечно, деревья дают тень. Деревья не дают тень - не солнечно.

Разделительный силлогизм

Умозаключение называется разделительным силлогизмом, если состоит из сугубо разделительных посылок, а вывод тоже получается разделительным суждением. Таким образом увеличивается количество альтернатив.

Ещё большее значение имеет разделительно-категорическое умозаключение, где одна посылка идёт разделительным суждением, а вторая - простым категорическим. Здесь два модуса: утверждающе-отрицательный и отрицающе-утверждающий.

Условно-разделительные

Понятие умозаключения включает в себя и условно-разделительные формы, в которых одна посылка - это два и более условных суждения, а вторая - разделительное суждение. Иначе это называется леммой. Задача леммы - выбор из нескольких решений.

Число альтернатив делит условно-разделительные умозаключения на дилеммы, трилеммы и полилеммы. Количество вариантов (дизъюнкция - использование "или") утвердительных суждений - конструктивная лемма. Если дизъюнкция отрицаний - лемма деструктивная. Если условная посылка даёт одно следствие - лемма простая, если следствия разные - лемма сложная. Это можно проследить, по схеме выстраивая умозаключения.

Примеры будут примерно такими:

• Простая конструктивная лемма: ab+cb+db= b; a+c+d=b. Если сын пойдёт в гости (а), сделает уроки позже (b); если сын пойдёт в кино (c), то перед этим сделает уроки (b); если сын останется дома (d), будет делать уроки (b). Сын пойдёт в гости или в кино, или дома останется. Уроки он всё равно сделает.
• Сложная конструктивная: a+b; c+d. Если власть наследственная (a), то государство монархическое (b); если власть выборная (c), государство - республика (d). Власть передают по наследству или избирают. Государство - монархия или республика.

Для чего нам умозаключение, суждение, понятие

Умозаключения не живут сами по себе. Эксперименты не проводятся вслепую. Они имеют смысл только в сочетании. Плюс синтез с теоретическим анализом, где путём сопоставлений, сравнений и обобщений можно сделать выводы. Причём вывести умозаключение по аналогии можно не только о непосредственно воспринятом, но и о том, что "пощупать" невозможно. Как можно непосредственно воспринимать такие процессы, как образование звёзд или развитие жизни на планете? Здесь необходима такая игра ума, как абстрактное мышление.

Понятие

Имеет три основные формы: понятия, суждения и умозаключения. Понятие отражает самые общие, существенные, необходимые и решающие свойства. В нём присутствуют все признаки реальности, хотя иногда реальность лишена наглядности.

Когда образовывается понятие, разум не берёт большую часть индивидуальных или несущественных случайностей в признаках, он обобщает все восприятия и представления как можно большего количества близких по однородности предметов и собирает из этого присущее всем и специфическое.

Понятия - это результаты обобщения данных того или иного опыта. В научных исследованиях они играют одну из главных ролей. Путь изучения любого предмета длинен: от простого и поверхностного к сложному и глубокому. По мере накопления знаний об отдельных свойствах и особенностях предмета появляются и суждения о нём.

Суждение

С углублением знаний происходит совершенствование понятий, и появляются суждения о предметах объективного мира. Это одна из основных форм мышления. Суждения отражают объективные связи предметов и явлений, внутреннее их содержание и все закономерности развития. Любой закон и любое положение в объективном мире можно выразить определённым суждением. Особенную роль играет умозаключение в логике этого процесса.

Явление умозаключения

Особый мыслительный акт, где из предпосылок можно вывести новое суждение о событиях и предметах - свойственная для человечества способность к умозаключениям. Без этой способности невозможно было бы познавать мир. Долгое время нельзя было увидеть земной шар со стороны, но и тогда люди смогли прийти к выводу, что Земля наша круглая. Помогла правильная связь истинных суждений: шарообразные предметы отбрасывают тень в форме круга; Земля накладывает на Луну круглую тень во время затмений; Земля имеет форму шара. Умозаключение по аналогии!

Правильность умозаключений зависит от двух условий: посылки, из которых строится вывод, должны соответствовать действительности; связи посылок должны соображаться с логикой, которая и изучает все законы и формы выстраивания суждений в умозаключении.

Таким образом, понятие, суждение и умозаключение как основная форма абстрактного мышления позволяют человеку познавать объективный мир, раскрывать самые важные, самые существенные стороны, закономерности и связи окружающей действительности.